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Formación de imágenes: problema inverso en Física Médica

Christian Coria González
7/oct/2013

Resolver un problema de manera inversa a partir de observaciones fue el tema que abordó Héctor Morales Bárcenas, investigador del Departamento de Matemáticas de la UAM Iztapalapa, en el Seminario de Física Médica realizado el 26 de septiembre en el IFUNAM.

En matemáticas, un problema inverso se define como la clase de problema donde se infiere información a partir de observaciones. En Física e Ingeniería, el concepto de problema inverso está detrás de los métodos y modalidades no invasivas, es decir, de los valores de los parámetros de algún modelo que deben de ser obtenidos a partir de los datos observados.

Se dice que los problemas inversos son problemas mal planteados, en contraposición con los problemas directos que permiten hacer predicciones, o sea, dada la descripción de un sistema se puede predecir el resultado de algunas mediciones.

Según el matemático francés J.S. Hadamard, un problema bien planteado debe satisfacer tres criterios: existencia (existe la solución al problema), unicidad (si existe, la solución será única) y estabilidad (la solución es estable). En los problemas inversos, la condición de estabilidad es constantemente quebrantada.

La formulación matemática para un problema directo se define de la siguiente manera: modelo {parámetros del modelo}→datos. Un problema inverso, en cambio, se define: {datos}→modelo {parámetros}

Un ejemplo del uso de problemas inversos fue el descubrimiento de Neptuno, en 1846, en el cual a partir de una perturbación en la trayectoria de Urano, el matemático francés Urbain Le Verrier predijo la posición del planeta aún no visto.

En Física Médica los problemas inversos son utilizados en la Tomografía de Proyecciones. Su aplicación consiste en determinar la distribución de densidades dentro de un cuerpo material a partir de las mediciones de los rayos X atenuados que lo atraviesan. Las imágenes generadas por computadora son un ejemplo de solución a estos problemas.

Lo anterior quiere decir que al irradiar tejido humano con rayos X se obtienen imágenes, o dicho de otra manera, mediante observaciones se obtiene la información que se necesita para resolver el problema, que no es más que la definición del problema inverso.

Pero ¿cómo se define un problema inverso en la formación de imágenes? “Una imagen es un mapeo del lugar geométrico en donde la velocidad de la onda tiene una singularidad o la intensidad de la onda cambia”, dijo Morales. Esto quiere decir que en un punto donde la velocidad de la onda tiene un comportamiento distinto o la intensidad de la onda cambia, la función o regla asignada a ésta (mapeo) genera la imagen.

Para reducir el ruido en las imágenes, se hace un promedio,. Así, para obtener una imagen con buena resolución es necesario hacer varias sesiones de radiación, esto, por supuesto, es dañino para el tejido humano, de modo que aunque la imagen no sea buena, no se pueden hacer todas las proyecciones necesarias para que lo sea, pues resultaría demasiado peligroso.

“La dosis de radiación debe ser mínima (en algún sentido precisa) cuando se trata de transmitirla en un ser vivo, para ello es necesario acoplar las ecuaciones de calor con las ecuaciones de onda”, comentó Morales Bárcenas

“Para obtener imágenes óptimas mediante radiación (ecuaciones de onda) se debe controlar (acoplar) la cantidad de energía (ecuación de calor) depositada en el interior del cuerpo material”, explicó.

El reto es entonces “desarrollar una teoría de propagación en medio materiales temporalmente dispersivos”. Pues, “a la fecha no existe una teoría general de propagación de ondas en medios heterogéneos, anisotrópicos o aleatorios”, lo que resulta, “en términos de formación de imágenes, que dichas imágenes se verán borrosas”, dijo Morales, a noticias IFUNAM.