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¿Existe un límite de validez en la mecánica estadística?

Lesli Aide Álvarez Millán
11/abr/2014

La búsqueda de sistemas en los que no sea válida la mecánica estadística llevó a Alberto Robledo, investigador del IFUNAM, a generar, entre él y sus colegas, 10 años de investigación, que han rendido su fruto pues finalmente han encontrado un sistema que no sigue los principios básicos de la mecánica estadística, una región conocida como: el borde del caos.

La mecánica estadística, teoría formulada por Ludwig Boltzmann y por Josiah Willard Gibbs en la segunda mitad del siglo XIX, es una rama de la física que se aplica normalmente a sistemas termodinámicos (macroscópicos) compuestos de un gran número de grados de libertad, es decir, aquellos donde hay muchos valores que pueden ser asignados de forma arbitraria, y que pueden ser desde estrictamente físicos, hasta financieros, biológicos o informáticos.

Por ejemplo, el ácido desoxirribonucleico (ADN), que es una estructura que contiene información genética, puede tener un gran número de configuraciones, entonces, a partir de la física estadística se pueden asignar probabilidades a esas posibles estructuras.

Tanto el ADN, como las redes sociales y algunos comportamientos financieros presentan entropía, que es una magnitud física que está relacionada con el desorden de los agentes en un sistema. A mayor grado de desorden, la entropía aumenta.

A diferencia de otras ramas de la física, la mecánica estadística había permanecido inmutable desde su origen; hasta hace algunos años no se concebía circunstancia alguna donde no se cumplieran sus principios.

Ahora, gracias a análisis como los de Alberto Robledo y sus colaboradores, publicado recientemente en la revista suiza “Entropy”, hay posibilidades de tener estos escenarios y responder a la pregunta clave: ¿habrá un límite de validez en esta teoría?

Para contestarla fue necesario elegir un sistema y ponerlo a prueba. Éste debía ser sencillo para poder estudiarlo a detalle pero no trivial ni que careciera de información relevante.

El sistema que eligió el equipo de investigadores fue el “mapeo logístico”, que es un sistema no lineal, es decir, al avanzar en el tiempo su dinámica consecuente no es directamente proporcional a la anterior.

El mapeo logístico es de gran interés porque a partir de una ecuación muy sencilla y con sólo repetirla varias veces se obtienen propiedades insospechadas en las cuales intervienen trayectorias muy irregulares pero con un orden subyacente.

Además, en el mapeo logístico se presenta un efecto conocido como “efecto mariposa”, el cual refleja la sensibilidad de un sistema respecto a las condiciones iniciales, es decir, un pequeño cambio en sus valores iniciales, (como el aleteo de una mariposa), puede producir grandes cambios en la evolución del sistema.

¿Cómo probar que el mapeo logístico podía tener una región en la cual la mecánica estadística convencional no funciona? Robledo y sus colaboradores voltearon a ver los pilares que sostienen esta teoría: ergodicidad y mezclado.

La primera se refiere a que en un sistema se puede medir una cantidad física como la temperatura o la presión, si medimos en un intervalo de tiempo muy pequeño realmente lo que medimos es un promedio de la cantidad en ese intervalo y ese valor es igual al promedio de todas las configuraciones posibles del sistema. El mezclado, por su parte, tiene que ver con la sensibilidad en las condiciones iniciales de un sistema: cómo, al pasar el tiempo, las trayectorias de las partículas que lo componen se mezclan entre sí. Los sistemas que presentan ergodicidad y mezclado deben cumplir un conjunto de reglas matemáticas.


Distintas configuraciones posibles para un sistema de partículas.

Se sabía desde hace mucho tiempo que el mapeo logístico presenta una región llamada “caos”, que se manifiesta por una circunstancia: el sistema viene de una región “ordenada” y en algún punto se vuelve completamente “desordenada” o caótica.

Y se había encontrado que el sistema en su región caótica cumple con los dos pilares fundamentales de la mecánica estadística.

Sin embargo Alberto Robledo decidió estudiar una región más del sistema que no había sido previamente analizada en términos de ergodicidad y mezclado, esta región es conocida como “el borde del caos”, la frontera entre el orden y el desorden del sistema, es decir, la que separa la dinámica “normal” de la caótica.

“La idea de estudiarlo fue que es un sistema suficientemente sencillo que se puede resolver pero que por ser también complejo ocurren en él propiedades interesantes”, dijo Robledo a Noticias IFUNAM.

Los investigadores encontraron rasgos de una mecánica estadística novedosa en esta región “borde del caos”, donde no se cumplen las definiciones matemáticas de ergodicidad y mezclado. Situación que representa un límite de validez para la mecánica estadística de Boltzmann y de Gibbs.

De acuerdo con los autores del artículo, esto da pie a nuevas líneas de investigación que busquen la generalización de la mecánica estadística para abarcar este tipo de casos.

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Link al artículo original:

http://www.mdpi.com/1099-4300/15/12/5178