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Modelan el crecimiento de raíces

Lesli Aide Álvarez Millán
30/may/2014

Las raíces de las plantas contribuyen en procesos importantes medioambientales. En ellas se dan una gran cantidad de procesos químicos, físicos y biológicos que definirán su estructura, y que se pueden modelar mediante ecuaciones.

Por ello, el investigador del IFUNAM Rafael Barrio y su estudiante de doctorado José Roberto Romero Arias así como Marco Noguez, de la Universidad Autónoma de la Ciudad de México, y Eugenio Azpeitia, Elizabeth Ortiz, Valeria Hernández, Elena Álvarez y Yuriria Cortes, miembros del Instituto de Ecología de la UNAM, se dieron a la tarea de desarrollar un modelo matemático que incluyera los procesos físicos y biológicos que se llevan a cabo en el crecimiento de una raíz.

A través de argumentos simples relativos al tamaño, forma y geometría de las células, los investigadores reprodujeron teóricamente un campo de fuerzas físicas que proporciona suficiente información para recuperar el patrón de crecimiento global de una raíz. “Las raíces surgieron cuando las plantas que antes vivían en un medio acuoso, emigraron a la tierra […]. El sistema que desarrollaron para adaptarse a este nuevo medio se conoce ahora como raíz”, dijo a Noticias IFUNAM José Roberto Romero Arias.

Existen alrededor de 350,000 especies de plantas, de las cuales, la elegida por los investigadores fue la Arabidopsis thaliana, que por ser ampliamente estudiada, se tiene un gran número de datos experimentales con los que los investigadores pudieron comparar sus resultados.

Uno de los procesos que se llevan a cabo en la raíz es la división celular, que ocurre en una zona conocida como meristemo. Ahí las células son iguales, sin embargo, cuando se dividen, se van desplazando a una zona donde se diferencian. Estos procesos ocurren debido a las interacciones que se llevan a cabo entre hormonas como la auxina y proteínas como ciclinas.

En el meristemo hay una reproducción muy alta de células, éstas responden a estímulos químicos y físicos y se comunican mediante señales o “mensajeros químicos” como las auxinas que están concentradas a lo largo de la raíz pero en diferentes cantidades. Estas hormonas regulan a las ciclinas, proteínas que a su vez promueven a la proliferación celular - que es el incremento del número de células por división celular-.

La propuesta de Romero es que la interacción entre auxinas y ciclinas, es decir, la regulación del ciclo celular y proliferación de las células, determinan cómo crece la raíz. Para probar sus propuestas teóricas, Romero Arias desarrolló un modelo computacional para ver cómo se comporta la dinámica de las células a través del tiempo. En su modelo, representan células mediante polígonos. Para dibujar los polígonos, usaron unos diagramas que llevan el nombre de su creador Georgy Voronoi.

Para construir estos diagramas, los investigadores parten de una nube de puntos, y para cada punto se buscan los dos más cercanos, luego se forman triángulos con los tres puntos. Así, para cada punto.

Luego, para cada triángulo, se traza un círculo cuyo centro representará el vértice de un polígono de Voronoi.


Construcción de los polígonos de Voronoi. Y configuración de células después de construir los diagramas de Voronoi.

Para ver cómo evoluciona el crecimiento, se tiene que dar movimiento a los polígonos que representan células. Esto se hace computacionalmente mediante algunas reglas matemáticas.

Las células no crecen infinitamente ni tienen cualquier forma, así que el modelo adapta las células a ciertos tamaños y formas. Para limitar tamaños y formas, los investigadores usaron un potencial armónico que es el que se encarga de que todas las células en la raíz tengan el mismo tamaño y forma. Este potencial está relacionado con las fuerzas a las cuales están sujetas, de manera que estas fuerzas limitan su tamaño y forma.

A este potencial se le incluye un término que representa la pérdida de energía cinética (energía de movimiento) de las células y que, en términos de la fuerza, representa un término de fricción que se debe a que las células están chocando constantemente entre ellas.

El potencial modela el transporte de auxinas y la concentración de las auxinas regula la concentración de las ciclinas. Para describir este proceso, usaron un sistema de ecuaciones no lineales -al avanzar en el tiempo su dinámica consecuente no es directamente proporcional a la anterior- conocido como ecuaciones de Lotka-Volterra. Estas ecuaciones normalmente son usadas para describir dinámicas de dos poblaciones que interactúan, una presa y un depredador.

La concentración de ciclinas no es constante, ni incrementa infinitamente con el tiempo, más bien oscila, por lo que las ecuaciones de Lotka-Volterra que son no lineales, describen bien esta dinámica.

Con el modelo de la dinámica de una raíz propuesto por Romero y Barrio, se pudo demostrar la importancia de las fuerzas físicas en la regulación del crecimiento en una raíz.

Y así, comparando con los datos experimentales, el modelo recupera las tasas de proliferación celular que se observan en la especie A. thaliana.

Este trabajo fue publicado en mayo del 2013 en PLOS con el título de “Cell Patterns Emerge from Coupled Chemical and Physical Fields with Cell Proliferation Dynamics: The Arabidopsis thaliana Root as a Study System” y fue del tema del Seminario de Estudiantes del 28 de abril de 2014.


Secuencias del modelo computacional. Fuente: J. R. Romero Arias.