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Fractales en el límite del caos

Reyna Alejandra Fonseca Velázquez
6/jun/2014

El estudio del caos es la clave para entender los fenómenos cuya naturaleza es irregular, cambiante, caótica, como la misma creación del Universo y la diversidad de interacciones de fuerzas y materia que prevalecen desde ese momento y que seguirán existiendo.

Por esto, Alberto Robledo, investigador del IFUNAM, junto con Miguel Ángel Fuentes, investigador del Instituto Santa Fe en Nuevo México, se encargaron de averiguar el comportamiento de las características físicas que varían en cualquier sistema justo en el momento que inicia el caos.

Este trabajo pertenece a una línea de investigación que pretende conocer lo que sucede en el borde del caos, que el investigador define como “el punto en el que un comportamiento regular periódico se transforma en un comportamiento irregular caótico”. Robledo explica que este tema es de interés ya que por este medio se pueden estudiar los fundamentos de la física estadística.


Dr. Alberto Robledo, investigador del IFUNAM.

Este trabajo, publicado en la página web de la revista European Physical Journal (EPJ) el 18 de febrero de este año, fue también señalado como investigación destacada. Además de que se encuentra entre las notas publicadas por la importante organización AlphaGalileo.

El estudio se centra en una propiedad muy importante en probabilidad y estadística. Sin importar cuál es el sistema inicial que se estudia, la distribución de la probabilidad límite que resulta de considerar muchos eventos es universal, es decir, siempre toma la misma forma: una campana que es la muy conocida distribución de Gauss.

El teorema del límite central establece que una vez que se suman los resultados de una cantidad suficientemente grande de eventos, estas cantidades variables físicas se distribuirán a lo largo de un límite central - también conocido como atractor. Los investigadores, sin embargo, pensaron en estudiar una distribución de probabilidades desde un ángulo distinto.

“Trabajamos para revelar un teorema de límite central diferente”, comenta Robledo. Se ha estudiado lo que sucede cuando ocurre el caos, en cuyo caso se sabe que las distribuciones son gauissianas. Pero la transición al caos (el límite en el que un comportamiento no caótico pasa a serlo) no había sido estudiada previamente.

Ellos lo hicieron para averiguar si habían distribuciones límite en el borde del caos como en el teorema del límite central, pero resulta que no: “en el límite cuando el caos desaparece, las distribuciones estacionarias son diferentes y tienen propiedades fractales, esto es muy diferente a la campana de Gauss”, explica el investigador.

Para llegar a este resultado, usaron un mapa logístico, una función parabólica no lineal utilizada para generar órbitas o trayectorias. Se escoge un valor inicial, se le aplica la función y el resultado (el valor de la función en ese valor) se toma como el nuevo valor inicial, y se itera consecutivamente de esta manera. Así se genera una sucesión de valores con dos opciones: o se repiten los valores o no se repiten.

Cuando se utiliza una función de una sola variable, la dinámica es sencilla, unidimensional, y todas las trayectorias que genera dicha función terminan en un atractor. “Para un atractor caótico, después de repetir varias veces la sustitución del valor inicial se tiene un movimiento de valores muy irregular; si el valor de la función cae dentro del atractor, entonces siempre pertenecerá a él, sin embargo, si no es parte del atractor, la dinámica será viajar hacia él”, explica Robledo.

En un mapa como el logístico los atractores cambian cuando se varía una cantidad que aparece en él, llamada parámetro de control. Estos atractores cuando representan movimiento regular poseen un periodo específico que depende del valor del parámetro de control. Cuando este aumenta y alcanza un valor crítico, el mapa sufre una bifurcación. En la primera bifurcación hay un punto estable, después una oscilación entre dos valores, después entre cuatro valores y así sucesivamente.


Se muestra gráficamente la bifurcación para los valores de un mapa logístico. El eje de las ordenadas se encuentra el parámetro del que depende la función.

En 1975 Mitchel Feigenbaum descubrió que esta duplicación de periodos termina en un punto de acumulación en el cual el periodo diverge y el comportamiento regular termina para dar lugar al movimiento irregular o caótico, y al atractor que existe justo cuando ocurre la transición orden-caos se le conoce como punto o atractor de Feigenbaum, el punto de acumulación de la duplicación de periodos.

Las propiedades descubiertas por Robledo y su equipo en el borde del caos son propiedades con un grado de universalidad para familias de funciones no lineales, pues cada familia, o clase de universalidad, presenta transiciones al caos con distribuciones fractales únicas, como la que ellos encontraron para este caso.

Del estudio en el borde del caos se concluye que las propiedades de la mecánica estadística tradicional no se cumplen en este tipo de situación límite y eso da una motivación aún más grande para continuar con estos estudios.

Aún hay muchas preguntas que responder, dice Robledo. Él y sus colaboradores tienen una enorme curiosidad por “desentrañar propiedades y cantidades de las funciones no lineales” y cómo se manifiestan en otras situaciones, como en los sistemas complejos, como en la dinámica de la formación de los vidrios, así como en el estudio del conjunto de Mandelbrot.