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Berry, el arcoíris y las funciones especiales

Arturo Tinoco Arenas
1/sep/2014

“En las singularidades de los límites es donde encontramos el corazón de la relación entre la física y las matemáticas”, y por eso vale la pena estudiarlos, dijo el físico inglés Sir Michael Berry, en su reciente visita al Instituto de Física, el 31 de julio, refiriéndose a un viejo problema de matemáticas.

Berry estuvo en el Instituto para hablar de una de sus múltiples áreas de especialización: las llamadas funciones especiales de las matemáticas y las series infinitas que las describen. Las funciones especiales son aquellas que se originan mediante alguna ecuación generadora, y se encuentran en todos los problemas de física teórica.

Estas funciones permiten describir muchos fenómenos físicos, como por ejemplo los efectos de interferencia entre las ondas electromagnéticas (que definen los colores) en los bordes del arcoíris.

En su charla en el IFUNAM “Divergent series: from Thomas Baye’s bewilderment to today´s resurgence via the rainbow”, Berry habló de las propiedades de dos funciones especiales conocidas como la función de Airy y la función de Error.

Para poder entender las sutilezas matemáticas de la función de Airy, Berry se dedica a estudiarla en el llamado campo de los números complejos, un espacio parecido al sistema cartesiano usual, pero donde uno de los ejes representa a los números que no tienen raíz real, conocidos como números imaginarios (raíces cuadradas de números negativos).

La función de Airy es la solución de la ecuación diferencial de Airy, también llamada ecuación de Stokes, y aparece en la descripción del arco iris. Esta función consiste en la suma de dos funciones casi exponenciales en una región oscilatoria y la predominancia de una exponencial en otra región.

Es importante conocer la forma aproximada de esta función para un rango determinado de valores, para lo cual existen varias técnicas.

Un límite físicamente interesante describe la parte donde las ondas electromagnéticas de los colores, se interpone una sobre otra, es decir, interfieren.

Berry describió diversos comportamientos de la función de Airy para valores complejos de su argumento, como bifurcaciones y límites asintóticos que se pueden aproximar por la función de Error.


Diapositiva expuesta por Michaell Berry donde se muestra el comportamiento de la función de Airy y la línea de Stokes. Fuente: Presentación M. Berry.

Todo lo cual lo resumió en un poema:

A lo que se refiere es que en el arcoíris hay dos regiones: una donde las ondas tienen las mismas frecuencias y originan los colores bien definidos que van desde el azul hasta el rojo, y otra en la que aparece una interferencia que genera una onda evanescente (que es una onda difusa, visualmente se ve como luz opaca). En resumen, la división de las regiones del arcoíris se describe matemáticamente con la función de Airy, mientras en la región de la interferencia se produce una onda evanescente que es descrita con la función de Error.

Michael Berry es experto reconocido mundialmente en métodos matemático aplicados a la física. Su larga trayectoria se ve reflejada en más de cuatrocientas publicaciones disponibles en: http://michaelberryphysics.wordpress.com/publications/.

Entre ellas cabe mencionar el número 41 titulado “Cusped rainbows and incoherence effects in the rippling mirror model for particle scattering from surfaces” publicada en 1975, para los interesados en las matemáticas detrás del fenómeno del color.