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Analizar las trayectorias de los peces, de las aves o incluso de una amiba resulta de gran interés para la comunidad científica. “Nos interesa el estudio de partículas activas que se asemejan a sistemas reales” comentó Luis Alberto Gómez Nava en la reciente charla del 29 de septiembre del Seminario de Estudiante del Instituto de Física.

Gómez Nava, estudiante del posgrado en ciencias físicas del IFUNAM, presentó el trabajo que desarrolló junto con su tutor Francisco Javier Sevilla Pérez bajo el título de “Teoría de difusión de partículas autopropulsadas que se mueven con rapidez constante en dos dimensiones”.

“El movimiento activo es la dinámica debida a sistemas de propulsión interna”, explicó Gómez Nava. Es decir: en un sistema, el movimiento que da impulso a las partículas o agentes depende solamente de éstas, no de agentes externos (autopropulsión).

Estos sistemas pueden ser biológicos (trayectorias de peces, aves, amibas) o artificiales, que consisten en construir partículas activas, metálicas por ejemplo, autopropulsadas.

La ventaja que tiene un sistema artificial sobre uno biológico es que al sacar a los agentes de su medio natural, para ser analizados en el laboratorio, su comportamiento cambia, a diferencia de las partículas construidas que pueden ser manipuladas en gran parte. Sin embargo, no se puede controlar su dirección.

El trabajo de Gómez Nava consiste en una simulación en 2D de un sistema de “caminantes aleatorios”. Los caminantes aleatorios son partículas que siguen una trayectoria aleatoria pero cuya dirección se fija desde el principio. Su modelo puede ser descrito por un par de ecuaciones que determinan la posición de las partículas (caminantes) al tiempo t.

Al hacer simulaciones numéricas con 10⁵ trayectorias distintas se pudieron obtener resultados para poder compararlos con la ecuación de Fokker-Planck, la cual describe la probabilidad de que la partícula tenga cierta velocidad al tiempo t debido a fuerzas de arrastre y fuerzas aleatorias.

Una vez que obtuvieron la ecuación se dieron a la tarea de resolverla mediante transformadas de Fourier. Con esto llegaron a un sistema infinito de ecuaciones diferenciales acopladas para los modos de Fourier (más sobre ello: aquí) el cual no se puede resolver directamente, así que es necesario hacerlo mediante aproximaciones.

De esta manera llegaron a la llamada ecuación del Telegrafista. Al resolverla para tiempos largos, se tendrá un comportamiento de difusión. Al resolverla para tiempos cortos, se comportará como una onda (ecuación del Telegrafista generalizada).

Hicieron una comparación de ambas soluciones mediante el procedimiento llamado “Desplazamiento cuadrático medio”, y obtuvieron el mismo resultado para ambas ecuaciones (telegrafista y telegrafista generalizada), lo cual no fue útil pues no pudieron saber cual se adecuaba más a su problema.

Entonces decidieron utilizar otro método denominado “Curtosis” que es, básicamente, una medida de la forma y simetría de la distribución de probabilidad. Es decir, estudia la proporción en la varianza que se explica por la combinación de datos, en este caso, de las dos soluciones obtenidas para el problema abordado.

De esta manera pudieron definir que la mejor aproximación es la de ecuación del Telegrafista Generalizada.

Sistema dinámico biológico: banco de peces y sistema dinámico artificial: Partículas metálicas autopropulsadas

Una vez resuelto el problema surge la pregunta ¿se puede reproducir experimentalmente? De acuerdo con el investigador, la respuesta es sí, pero "el modelo puede ser reproducido, sin embargo debe cumplir con ciertas condiciones":

• Las condiciones iniciales del experimento deben coincidir con las condiciones iniciales de la teoría.

• Los agentes activos deben permanecer a velocidad constante y el efecto de interacción entre ellos debe ser despreciable.

• La simetría de las partículas es también una característica vital, lo ideal es que sea esférica.

Los resultados del trabajo de Gómez Nava junto con su tutor Francisco Javier Sevilla Pérez fueron publicados en la revista Physical Review E en el arítulo “Theory of diffusion of active particles that move at constant speed in two dimensions”.